Rotasi Benda Tegar

Rotasi Benda Tegar

            Suatu partikel hanya dapat mengalami gerak translasi (gerak lurus) saja, sedangkan benda tegar selain dapat mengalami gerak translasi juga dapat bergerak rotasi yaitu gerak mengelilingi suatu poros.

Sekarang mari kita tinjau sebuah pintu. Apabila kita mendorong pintu tersebut, maka pintu akan berputar sesuai dengan arah dorongan gaya yang diberikan. Gaya dorong yang menyebabkan pintu berputar selalu berjarak tertentu dari poros putaran. Apabila kita beri gaya dorong tepat di poros, niscaya pintu itu tidak akan berputar. Jarak poros putaran dengan letak gaya dinamakan lengan momen. Jadi, bisa dikatakan perkalian gaya dan lengan momen ini yang menyebabkan benda berputar. Besaran ini dinamakan torsi atau momen gaya.

            Pengertian torsi dalam gerak rotasi serupa dengan gaya pada gerak translasi yaitu sebagai penyebab terjadinya gerak. Menurut hukum Newton, benda bergerak disebabkan oleh gaya. Prinsip ini juga berlaku pada gerak rotasi yang berarti benda bergerak rotasi disebabkan oleh torsi.

•        Momen Gaya

            Momen gaya merupakan besaran vektor yang nilainya sama dengan hasil kali antara gaya dengan jarak dari titik poros arah tegak lurus garis kerja gaya.

Benda yang diam akan berotasi jika pada benda tersebut bekerja suatu besaran yang disebut momen gaya (torka) juga ketika benda yang sedang berotasi akan mengalami perubahan kecepatan sudut bila pada benda tersebut bekerja momen gaya. Momen gaya sering disebut dengan momen putar atau torsi, diberi lambang τ  (baca: tau).

                                                                     Atau,

D adalah lengan momen, yaitu panjang garis yang ditarik dari titik poros smapai memotong tegak lurus garis kerja gaya. Sedangkan garis kerja gaya adalah garis yang dibuat melalui vector gaya yang bekerja. Dengan demikian, besar momen gaya yang menyebabkan benda berotasi dipengaruhi oleh panjang lengan momen dan besarnya gaya yang bekerja pada benda.

Satuan dari momen gaya atau torsi ini adalah N.m yang setara dengan joule. Momen gaya termasuk ke dalam besaran vektor, sehingga momen gaya mempunyai besar dan arah.

Putaran momen gaya yang searah dengan putaran jarum jam disebut momen gaya positif, sedang yang berlawanan putaran jarum jam disebut momen gaya negatif.

Beberapa hal yang perlu diperhatikan :

• Jika perpanjangan gaya melalui sumbu rotasi, maka momen gaya sama dengan nol karena      sudut θ = 180°

• Jika gaya menjauhi sumbu rotasi, maka momen gaya sma dengan nol karena sudut θ = 0°

• Momen gaya memiliki nilai paling besar jika arah gaya F tegak lurus dengan arah vektor r , karena θ = 90° atau θ = -90° sehingga τ = r F atau τ = - r F

Momen gaya merupakan salah satu bentuk usaha dengan salah satu titik sebagai titik acuan. Misalnya anak yang bermain jungkat-jungkit, dengan titik acuan adalah poros jungkat-jungkit.Pada katrol yang berputar karena bergesekan dengan tali yang ditarik dan dihubungkan dengan beban.

Titik 0 sebagai titik poros atau titik acuan.

Momen gaya oleh F₁ adalah τ ₁ = + F₁ . d₁

Momen gaya oleh F₂ adalah τ ₂ = – F₂ . d₂

Pada sistem keseimbangan rotasi benda berlaku resultan momen gaya selalu bernilai nol, sehingga dirumuskan:

∑ τ = 0

Pada permainan jungkat-jungkit dapat diterapkan resultan momen gaya = nol.

∑ τ = 0

- F₂ . d₂ + F₁ . d₁ = 0

F₁ . d₁ = F₂ . d₂

Pada sistem keseimbangan translasi benda berlaku resultan gaya selalu bernilai nol, sehingga dirumuskan:

∑ F = 0

Pada mekanika dinamika untuk translasi dan rotasi banyak kesamaan-kesamaan besaran yang dapat dibandingkan simbol besarannya.

Perbandingan dinamika translasi dan rotasi

Translasi		Rotasi
Momentum linier	p = mv	Momentum sudut*	L = Iw
Gaya	F = dp/dt	Torsi	t= dL/dt
Benda massa Konstan	F = m(dv/dt)	Benda momen inersia konstan*	t= I (dw/dt)
Gaya tegak lurus Terhadap momentum	F = w x p	Torsi tegak lurus momentum sudut	t= W´ L
Energi kinetik	Ek = ½ mv2	Energi kinetik	Ek = ½ Iw2
Daya	P = F . v	Daya	P = t . w

Analogi antara besaran translasi dan besaran rotasi

Konsep	Translasi	Rotasi	Catatan
Perubahan sudut	s	q	s = r.q
Kecepatan	v = ds/dt	w= dq/dt	v = r.w
Percepatan	a = dv/dt	a= dw/dt	a = r.a
Gaya resultan, momen	F	t	t= F.r
Keseimbangan	F = 0	t= 0
Percepatan konstan	v = v0 + at	w= w0 + at
	s = v0t = ½ at2	q= w0t + ½at2
	v2 = + 2as	w2 = + 2qa
Massa, momen kelembaman	m	I	I = åmiri2
Hukum kedua Newton	F = ma	t= Ia
Usaha	W = ò F ds	W = òt dq
Daya	P = F.v	P = I w
Energi potensial	Ep = mgy
Energi kinetik	Ek = ½ mv2	Ek = ½ Iw2
Impuls	òF dt	tòdt
Momentum	P = mv	L = Iw

            Gabungan gerak translasi dan rotasi

	F = m apm		τ = Ipm α

 

                                                                        dan

•        Momen Kopel

Kopel adalah pasangan dua buah gaya yang mempunyai garis kerja sejajar ( tidak berhimpit ) , sama besar dan berlawanan arah.

Momen kopel didefinisikan sebagai perkalian salah satu gaya dengan jarak tegak lurus antara kedua garis gaya tersebut.

Momen kopel adalah momen gaya yang diakibatkan pasangan dua gaya yang sama besarnya dan arahnya berlawanan tetapi tidak segaris kerja. Momen kopel disimbolkan M.

Jika pada benda bekerja beberapa kopel maka resultan momen kopel total benda tersebut adalah :

 

Benda yang dikenai momen kopel akan bergerak rotasi terus menerus.

☼ Koordinat Titik Tangkap Gaya Resultan

Jika terdapat beberapa gaya yang bekerja pada bidang XY, maka setiap gaya tersebut dapat diuraikan atas komponen-komponennya pada sumbu-X dan sumbu-Y. Misalkan, komponen-komponen gaya pada sumbu-X adalah ^F_1x^{, F}_2x^{, F}_3x^,…,F_nx, yang jaraknya masing-masing terhadap sumbu-X adalah^y₁^{, y}₂^{, y}₃^,…,y_n^.

Sedangkan komponen-komponen gaya pada sumbu-Y adalah^F_{1 y}^{, F} _2y^{, F} _3y^{, …,F}_ny^, yang jaraknya masing-masing terhadap sumbu-Y adalah x₁, x₂, x₃,…,x_n. Semua komponen gaya pada sumbu-X dapat digantikan oleh sebuah gaya resultan F _x yang jaraknya y_o dari sumbu-X, demikian juga semua komponen gaya pada sumbu-Y dapat digantikan oleh sebuah gaya resultan F _y yang jaraknya x_o dari sumbu-Y.

•        Momen Inersia

Benda tegar adalah benda padat yang tidak berubah bentuk apabila dikenai gaya luar. Dalam dinamika, bila suatu benda tegar berotasi, maka semua partikel di dalam benda tegar tersebut memiliki percepatan sudut a yang sama. Momen gaya atau gaya resultan gerak rotasi t didefinisikan sebagai berikut.

”Apabila sebuah benda tegar diputar terhadap suatu sumbu tetap, maka resultan gaya putar (torque, baca torsi) luar terhadap sumbu itu sama dengan hasil kali momen inersia benda itu terhadap sumbu dengan percepatan sudut”.

 

                                                                        Atau

mS_i R_i² disebut momen inersia atau momen kelembaman benda terhadap sumbu putar, yaitu penjumlahan hasil kali massa tiap partikel dalam suatu benda tegar dengan kuadrat jaraknya dari sumbu.

 

Definisi lain dari momen inersia adalah perbandingan gaya resultan (momen) terhadap percepatan sudut.

 

Percepatan tangensial adalah juga percepatan linier a, yaitu percepatan singgung tepi.

 

Momen inersia harus dinyatakan sebagai hasil kali satuan massa dan kuadrat satuan jarak. Untuk menghitungnya harus diperhatikan bentuk geometri dari benda tegar homogen.

Berikut menunjukkan momen inersia beberapa benda homogen :

Momen inersia berbagai benda yang umum dikenal

Momen inersia pita tipis berjari – jari R                                              I = MR

Momen inersia pita tipis berjari – jari R dan lebar W                          I = ½ MR^{2 +} 1/12 MR²

Momen inersia silinder berongga                                                         I = ½ M (R₁² + R₂²)

Momen inersia silinder pejal                                                               I = ½ MR²

Momen inersia silinder tipis beronggga ( cincin )                               I = MR²

Momen Inersia bola tipis berongga                                                     I = 2/3 MR²

Momen inersia bola pejal                                                                    I = 2/5 MR²

Momen inersia batang homogen (poros melalui tengah – tengah)       I = 1/12 ML²

Momen inersia batang homogen (poros melalui ujung batang)            I = 1/3 ML²

Momen inersia pelat tipis segiempat ( poros melalui pusat)                I = 1/12 M (L + W)

Momen inersia pelat tipis segiempat ( poros melalui tepi panjang )    I = 1/3 MA

Teorema Sumbu Sejajar

Untuk menentukan momen inersia benda bila sumbu tidak melalui pusat massa adalah dengan menggunakan “ dalil sumbu sejajar “. Dengan mengetahui momen inersia terhadap sumbu pusat massa, maka momen inersia pada sembarang sumbu yang sejajar dengan sumbu pusat massa dapat ditentukan. Menurut dalil sumbu sejajar, momen inersia pada sebuah sumbu yang berjarak x   dari sumbu pusat massa dan sejajar dengan sumbu pusat massa memenuhi persamaan :

 

            Energi kinetic benda yang berotasi bergantung pada momen inersia, yaitu :

 

•        Momentum Anguler

  

Momentum sudut (L) adalah hasil kali momen kelembaman I dan kecepatan sudut w.

Momentum sudut merupakan besaran vector, sehingga mempunyai besar ( nilai ) dan arah.

Hubungan momentum sudut dengan momen gaya :

 

Hukum kekekalan momentum linear adalah ketika gerak translasi sistem benda tidak bekerja gaya luar maka pada system benda besarnya tetap ( kekal ). Apabila pada system benda yang sedang berotasi tidak ada momen gaya luar yang bekerja, maka momentum sudut system benda besarnya tetap ( kekal ) atau tidak mengalami perubahan. Akibat hukum kekekalan momentum sudut adalah perubahan momen inersia yang menyebabkan perubahan kecepatan sudut. Sehingga apabila momen inersia bertambah besar maka kecepatan sudut akan berkurang, dan sebaliknya.

 

 

           

Hukum kekekalan momentum sudut merupakan salah satu hukum dasar dalam fisika dan akan banyak digunakan untuk menyelesaikan berbagai persoalan yang berhubungan dengan gerak rotasi.

·         Jika rotasi benda berlawanan arah dengan putaran jarum jam, maka momentum sudut diberi nilai positif.

·         Jika rotasi benda searah dengan putaran jarum jam, maka momentum sudut diberi nilai negative.

☼ Energi Kinetik Rotasi

Misalkan sebuah sistem terdiri atas dua partikel yang massanya m₁ dan m₂ dan rotasi bergerak dengan kecepatan linier v₁ dan v₂, maka energi kinetik partikel ke 1 adalah ½ m₁v₁². Oleh karena itu, energi kinetik sistem dua partikel itu adalah (energi kinetik partikelke 2 adalah ½ m₂v₂² ) :

E_K = ½ m₁ v₁² + ½ m₂v₂²

Dalam sistem benda tegar energi kinetiknya:

E_K = S ½ m_i v_i²

Benda tegar yang berotasi terhadap suatu sumbu dengan kecepatan sudut w, kecepatan tiap partikel adalah v_i = w . R_i , di mana R_i adalah jarak partikel ke sumbu rotasi.

jadi E_K =S ½ m_iv_i²

= S ½ m_i R_i² w²

= ½ (S m_i R_i²) w²

E_K = ½ I .w²

karena L = I . w

maka E_K = ½ L . w

atau E_K = ½

Masalah umum di mana benda tegar berotasi terhadap sebuah sumbu yang melalui pusat massanya dan pada saat yang sama bergerak translasi relatif terhadap seorang pengamat. Karena itu, energi kinetik total benda dapat dituliskan sebagai berikut.

E_K = ½ mv² + ½ I .w²

Dalam hal ini hukum kekekalan energi total atau energi mekanik adalah:

E = E_K + E_P = konstan

½ mv² + ½ I w² + mgh = konstan

Menggelinding

Menggelinding adalah gabungan dari gerak translasi (titik pusat massa) dan gerak rotasi (penampang bentuk lingkaran).

Penyelesaian kita tinjau dari masing-masing gerakan itu.

1.      Bila gaya F berada tepat di sumbu:

- gerak translasi berlaku : F – f = m . a

- gerak rotasi berlaku : f . R = I .a

di mana (a = )

2.      Bila gaya F berada di titik singgung :

- gerak translasi berlaku : F + f = m . a

- gerak rotasi berlaku : (F – f) . R = I .a (a = )

Katrol

1.      Sumbu dianggap licin tanpa gesekan

Massa = m

Jari-jari = R

Momen kelembaman = I

Gerak translasi beban :

F = m .a

+ T₁ – m₁g = m₁a ………………….(i)

+ m₂g – T₂ = m₂a ………………….(ii)

Gerak rotasi katrol :

t = I .a

(T₂ – T₁) R = I ……………….(iii)

2.      Pada puncak bidang miring

Gerak translasi beban :

F = m .a

+ T₁ – m₁g sin q – f = m₁a …….(i)

+ m₂g – T₂ = m₂a …………………..(ii)

Gerak rotasi katrol :

t = I .a

(T₂ – T₁) R = I ……………………(iii)

      3.    Satu ujung talinya terikat pada sumbu katrol

Gerak translasi beban :

F = m .a

mg – T = m . a ……………..(i)

Gerak rotasi katrol :

t = I .a

T . R = I . ……………..(ii)

Suatu benda tegar yang melakukan gerak tranlasi dan gerak rotasi secara bersamaan mempunyai energy kinetic yang besarnya dapat dinyatakan dengan :

 

☼ Usaha dalam gerak rotasi

Usaha dalam gerak rotasi adalah hasil kali antara momen gaya dengan perpindahan sudut. Usaha yang dilakukan oleh momen gaya pada sebuah benda yang berotasi dapat dinyatakan dengan persamaan :

 

Usaha ini akan mengubah energy kinetic rotasi sesuai dengan hubungan :

☼ Dinamika rotasi

            Percepatan sudut yang dialami suatu benda berbanding lurus dengan resultan momen gaya luar yang bekerja terhadap poros melalui pusat massa dan berbanding terbalik dengan momen inersia benda terhadap poros.

 

KESIMPULAN

            Benda tegar dapat mengalami gerak translasi maupun pada gerak rotasi. Pada gerak rotasi  benda tegar mengalami peristiwa – peristiwa yaitu  :

•        Momen Gaya

•        Momen Kopel

•        Momen Inersia

•        Momentum Anguler

•        Energi kinetic rotasi

•        Usaha dalam gerak rotasi

•        Dinamika rotasi